MATLAB 与线性代数--矩阵分解

矩阵的LU(三角)分解

概念：

LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种，可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

Matlab内置有LU分解的函数，说明如下：

  • [L,U] = lu(A)
    将矩阵A分解的上三角矩阵保存在U当中，将一个下三角矩阵保存在L中，满足 A=L*U，注意A不必须是方阵。
  • [L,U,P] = lu(A)
    返回三个矩阵，下三角矩阵L、上三角矩阵U和一个置换矩阵P，满足P*A=L*U。

对矩阵A的LU分解可以表示为：

>> A = [-1 2 0;4 1 8; 2 7 1];
>> [L,U] = lu(A)
L =-0.2500    0.3462    1.00001.0000         0         00.5000    1.0000         0
U =4.0000    1.0000    8.00000    6.5000   -3.00000         0    3.0385

至此，我们又多了一种求线性方程组的解的方法-----------LU分解法。
假设A是某个方程的系数矩阵,而

组的解可以通过两次左除得到：

x = U\(L\b)

>> b = [12;-8;6];
>> x = U\(L\b)
x =-6.93672.53162.1519

看方程组：

在MATLAB中输入：

>> A = [3 2 -9;-9 5 2; 6 7 3];
>> b = [-65;16;5];

求出A的LU分解：

>> [L,U] = lu(A)
L =-0.3333    0.3548    1.00001.0000         0         0-0.6667    1.0000         0
U =-9.0000    5.0000    2.00000   10.3333    4.33330         0   -9.8710

现在我们可以通过左除来求解：

>> x = U\(L\b)
x =-1.0065-1.25496.6078